적률생성함수 Moment Generating Functions (MGF)

적률함수 Moment functions

 

 

적률생성함수 Moment Generating Functions (MGF)

하나의 MGF는 하나의 확률분포와 대응된다.

두개의 확률변수가 같은 MGF를 가지면 같은 분포를 가진다.

확률변수의 MGF를 찾으면 확률분포를 결정할 수 있다.

 

first moment는 한번 미분을 하고 t=0를 대입하여 얻는다.

second moment는 두번 미분하고 t=0을 대입하여 얻는다.

1차 적률

2차 적률

n차 적률

 

예제) Binomial 분포의 MGF

이항분포 PMF

적률생성함수 공식에 대입하면,

 

예제) Poisson분포의 MGF

Poisson PMF

적률생성함수 공식에 대입하면,

 

정리하면,

 

적률 (moment)는 분포의 특성을 설명해준다. 분포는 확률의 패턴임.

 - 1th moment :평균

 - 2th moment :분산

 - 3th moment :왜도

 - 4th moment :첨도

moment을 생성하는 함수가 적률생성함수(MGF)임

MGF에 1차 미분하고 t=0을 대입하면 1차 적률를 구할 수 있다. 즉,

MGF에 n차 미분하고 t=0을 대입하면 n차 적률를 구할 수 있다.

 

적률함수 E[X^r]

적률생성함수 E[e^tx]