중심극한정리 Central Limit Theorem

중심극한정리 CLT

모집단의 분포와 상과없이 독립확률변수 X에 대해 X평균의 분포는 정규분포를 따른다. 단,n이 매우 크면.

모집단이 어떤 분포이든지 모집단 평균과 분산을 알면 표본평균의 분포도 알 수 있다.

 

중심극한정리의 증명

 

중심극한정리가 중요한 이유

- 모집단에 대한 가정 불필요: 모집단의 분포에 관계없이 표본 평균이 정규 분포를 따른다는 사실을 알 수 있다.
- 신뢰 구간 및 가설 검정: 표본 데이터를 사용하여 모집단에 대한 신뢰 구간을 설정하고, 가설 검정을 수행할 수 있다.
- 대규모 데이터셋의 분석 용이: 대규모 데이터셋을 다룰 때, 중심 극한 정리는 표본 평균의 분포를 예측하는 데 도움이 된다.

 

정리하면,

중심극한정리는 표본 평균들이 이루는 표본 분포와 모집단 간의 관계를 증명함으로써, 수집한 표본의 통계량(statistics)을 이용해 모집단의 모수(Parameters)를 추정할 수 있는 수학적(확률적) 근거를 마련해 줍니다. 이것이 추리통계에서 중심극한정리가 중요한 이유입니다.

 

두모집단의 표본 평균 차이 비교

표본평균의 평균을 추정

평균 차이

분산 차이

모집단이 정규분포를 따를 경우

 

표본분산

표본의 평균은 정규분포를 따르지만, 표본의 분산은 χ2 (chi-squared)를 따른다.